В нескольких словах
Текст освещает интересные математические задачи и головоломки, связанные с оценкой размеров, экспоненциальным ростом и шахматной доской, демонстрируя силу математических расчетов в повседневной жизни.
Задача о 8 ферзях и оценка высоты модели Эйфелевой башни
Задача о 8 ферзях и оценка высоты модели Эйфелевой башни — примеры, где глазомер часто подводит. Большинство считает, что железная модель весом в килограмм будет размером с литровую бутылку, хотя ее высота составит около полутора метров. С нашей точки зрения Эйфелева башня кажется огромной, но на деле это изящная конструкция.
Если округлить, высота Эйфелевой башни — около 300 метров, вес — около 8000 тонн. То есть она в 8 миллионов раз больше килограммовой модели и в 200 раз выше (200³ = 8000000). Следовательно, высота модели — примерно 300/200 = 1,5 м.
Подробнее о глазомере
Глазомер чаще всего подводит в оценках, связанных с экспоненциальным ростом, то есть с геометрическими прогрессиями. Самый известный пример — легенда об изобретателе шахмат, который запросил в награду один зернышко пшеницы за первую клетку доски, два — за вторую, четыре — за третью и так далее. Сложно представить, что зернами с 64 клеток шахматной доски можно было бы покрыть Пиренейский полуостров слоем пшеницы в несколько метров толщиной. Или что, если сложить лист бумаги 43 раза, получится толщина, сопоставимая с расстоянием от Земли до Луны.
Кстати, знаете, почему прогрессии называются геометрическими? А арифметическими? И если нет (что наиболее вероятно), есть ли у вас разумное объяснение?
Шахматная доска и ее вариации
Говоря о шахматной доске и ее бесконечных вариантах, служащих основой для всевозможных головоломок, вспоминается одна, присланная другом, отдаленно связанная с классической задачей о 8 ферзях (расставить 8 ферзей на пустой шахматной доске так, чтобы ни один не угрожал другому). Нужно расставить 18 фишек на доске 6x6 так, чтобы в каждой строке, каждом столбце и на двух диагоналях было 3 и только 3 фишки.
На элементарной доске 2x2 очевидно, что мы не можем расставить 2 фишки в соответствии с условиями задачи.
Можно ли обобщить задачу на другие доски с четным количеством клеток?
На доске 4x4 можно ли расставить 8 фишек так, чтобы было 2 в каждой строке, столбце и диагонали?
На обычной шахматной доске 8x8 можно ли расставить 32 фишки так, чтобы было 4 в каждой строке, столбце и диагонали?
Еще сложнее
Можно ли доказать, что на любой доске 2nx2n, где n — любое натуральное число больше 1, мы можем расставить 2n² фишки так, чтобы было n в каждой строке, столбце и диагонали?
