В нескольких словах
Статья представляет подборку интересных математических задач, демонстрирующих применение принципа Дирихле. Рассматриваются различные головоломки и способы их решения.
Эта статья посвящена интересным математическим задачам, которые могут заставить вас поломать голову. В основе многих из них лежит принцип Дирихле (он же «принцип ящиков» или «принцип голубей»). Давайте рассмотрим несколько примеров.
Задача о покрытии треугольника
Сколько наименьших равносторонних треугольников необходимо, чтобы покрыть равносторонний треугольник? Меньшие треугольники не обязательно должны быть одинаковыми и могут перекрываться. Ответ — 3. Доказать это можно, исключив меньшее количество треугольников: очевидно, что тремя покрыть можно, а двумя — сложно.
Задача о пяти точках
В равностороннем треугольнике есть пять точек. Необходимо доказать, что расстояние между некоторыми двумя из них не превышает половины стороны треугольника. Рассмотрим решение Франсиско Монтесиноса: «Соединив средние точки сторон исходного равностороннего треугольника, получим 4 треугольника со стороной 1/2 м. Внутри одного из этих маленьких треугольников, из пяти данных точек, обязательно окажется две точки, значит, их расстояние d не может быть больше 1/2». Разделив исходный треугольник на 4 равных, мы создаем «голубятню» из 4 «ячеек», в которой необходимо разместить 5 «голубей», то есть точек. Наибольшее расстояние, которое может быть между точками в равностороннем треугольнике со стороной 1/2 м, равно длине стороны, поэтому две точки, находящиеся в нем, могут находиться на расстоянии не более 1/2 м (и это, очевидно, вершины треугольника).
Интересен и подход Рафаэля Гранеро:
«Действительно, есть четыре точки, которые соответствуют максимальному удалению, и даже можно сказать, что, учитывая четыре точки, они являются самыми удаленными, которые могут быть между ними: три вершины и центр. Центр находится в 57,7 см от любой из трех вершин. Любое движение, каким бы маленьким оно ни было, точки, расположенной в центре, неизбежно приведет к уменьшению расстояния до одной или двух вершин. И то же самое относится к каждой из точек, расположенных на вершинах, по отношению к трем другим точкам. Единственные точки, которые находятся на расстоянии более 50 см, находятся за пределами окружности радиусом 50, с центром в центре равностороннего треугольника. Но в каждой из трех зон все точки находятся на расстоянии менее 8 см от самой дальней точки, которая является вершиной, поэтому невозможно разместить пятую точку на расстоянии более 50 см от остальных четырех».
Задача о броске кубика
С какой вероятностью потребуется 13 бросков кубика, чтобы получить три одинаковых числа? Ответ Хуана Зубиеты: «Вероятность дойти до броска 13 — это частное от деления между возможными перестановками с 6 парами чисел (12!/2^6) и всеми возможными последовательностями бросков (6^12). Результат: 1925/559872 (примерно один шанс из 291)». (Важно помнить, что речь идет не о получении 3 раз конкретного числа, например, 6, а о том, чтобы какое-то число выпало хотя бы 3 раза).
«Голубятня» высокого риска
Дан набор {1, 2, …, 2n}. Доказать, что в любом подмножестве из n+1 чисел найдутся как минимум два, одно из которых будет кратно другому. Не пытайтесь решить эту задачу в жару — голуби из этой «голубятни» высокого риска могут «поджарить» ваши нейроны.
Эти задачи демонстрируют, как принцип Дирихле может применяться для решения различных головоломок и задач. Попробуйте свои силы и найдите собственные решения!
