Двойственность объятий

Проблема дружных семей

Проблема дружных семей, поднятая на прошлой неделе, допускает несколько решений, в зависимости от интерпретации условия.

Предположим, что в обеих семьях есть мужчины и женщины, как следует из контекста, и что когда двое мужчин обнимаются, это одно объятие (кажется наиболее разумным, поскольку мы говорим, что такой-то и такой-то обнялись, а не дважды). Однако, чтобы поцелуй, который x дарит y, был тем же самым, что y дарит x, это должен быть поцелуй в губы, что обычно не происходит при межсемейных приветствиях, и тем более, если каждый раз дарят два поцелуя на человека.

Таким образом, если мы считаем, что при каждой приветственной встрече происходит четыре поцелуя, и обозначим A как число мужчин из семьи Эрнандес, B как число женщин из семьи Эрнандес, E как число мужчин из семьи Фернандес и C как число женщин из семьи Фернандес, то получим: A x E = 24; A x C + E x B + B x C = 132/4 = 33.

«Фермиевский» подход к проблеме состоял бы в том, чтобы исходить из правдоподобных разложений 24 на два фактора: 2 x 12, 3 x 8 и 4 x 6, что приводит к… скольким решениям? Но, повторяю, возможны и другие интерпретации (см. комментарии на прошлой неделе).

Существует более простая версия этой классической задачи, в которой объятий 21, что, с одной стороны, исключает возможность того, что каждое объятие считается за два, а с другой стороны, существует только одно правдоподобное разложение на два фактора: 21 = 3 x 7.

Что касается проблемы формальных приветствий, то она очень проста, если мы примем во внимание, что в каждом рукопожатии - даже если оно одно, как и объятие - сходятся два индивидуальных ручных действия (которые для упрощения мы будем называть «шлепками»), то есть 66 x 2 = 132.

Если на встрече n человек и каждый пожимает руку всем остальным, то произойдет n(n-1) «шлепков», поэтому n(n-1) = 132. И не нужно решать квадратное уравнение, чтобы увидеть, что n = 12.

И что касается числа людей, которые на протяжении своей жизни пожали нечетное число рук, Бретос Бурсо предлагает остроумное решение в духе CVA (Cuenta de la Vieja Avanzada): «Предположим, что при каждом рукопожатии кто-то разделяет два кусочка креста, который он берет из мешка с крестами, и дает по одному каждому участнику рукопожатия. Все кресты и все кусочки одинаковы. Как только человек собирает два кусочка, он формирует крест и бросает его в колодец крестов. В любой момент времени у каждого человека нет кусочков (если он совершил четное число рукопожатий) или есть один кусочек (если он совершил нечетное число рукопожатий). Но до этого момента из мешка вышло четное число кусочков, другое четное число упало в колодец, и разница, которая является четной, - это число людей, у которых есть кусочек».

Прямоугольная доска

Остались нерешенными, с пару недель назад, некоторые вопросы, касающиеся проблемы обхода конем прямоугольных досок (которым занимался сам Эйлер), а именно доски 3x4.

Вот подробный анализ Сальвы Фустера: «При построении графа, связанного с задачей обхода конем доски 3x4, получаются два цикла (1-7-9-2-8-10-1 и 3-5-11-4-6-12-3) с парой дополнительных ребер, соединяющих их: 2-11 и 3-10.

Если начать с верхнего левого угла (клетка 1) и не ограничивать клетку прибытия, то у нас будет две возможности: 1-7-9-2-8-10-3-5-11-4-6-12 и 1-7-9-2-8-10-3-12-6-4-11-5.

Если мы выберем в качестве начальной клетки первую или последнюю клетку второго ряда, то у нас будет несколько возможностей. Например, если мы выберем клетку 5, то полные обходы будут следующими: 5-11-4-6-12-3-10-8-2-9-7-1 (совпадает с 1-7-9-2-8-10-3-12-6-4-11-5, но пройденным в обратном направлении); 5-11-4-6-12-3-10-1-7-9-2-8; 5-3-12-6-4-11-2-9-7-1-10-8 (симметрично предыдущему); 5-3-12-6-4-11-2-8-10-1-7-9 (инвертировано и симметрично 1-7-9-2-8-10-3-12-6-4-11-5).

Если мы выберем в качестве начальной клетки любую клетку, кроме угла или любого края второго ряда, мы не сможем совершить полный обход.

Поэтому, если я не ошибаюсь, будет только 3 различных решения, если мы исключим симметрии, повороты или обходы в обратном направлении.